Новости  Акты  Бланки  Договор  Документы  Правила сайта  Контакты
 Топ 10 сегодня Топ 10 сегодня 
  
26.10.2015

6 решить дифференциальное уравнение - Решение дифференциальных уравнений онлайн

Уравнения первого порядка Уравнения второго порядка. Дифференциальное уравнение — это уравнение, в которое входят функция и одна или несколько ее производных. В большинстве практических задач функции представляют собой физические величины, производные соответствуют скоростям изменения этих величин, а уравнение определяет связь между ними.

В данной статье рассмотрены методы решения некоторых типов обыкновенных дифференциальных уравнений, решения которых могут быть записаны в виде элементарных функций , то есть полиномиальных, экспоненциальных, логарифмических и тригонометрических, а также обратных им функций. Многие из этих уравнений встречаются в реальной жизни, хотя большинство других дифференциальных уравнений нельзя решить данными методами, и для них ответ записывается в виде специальных функций или степенных рядов, либо находится численными методами.

Для понимания данной статьи необходимо владеть дифференциальным и интегральным исчислением, а также иметь некоторое представление о частных производных.

Рекомендуется также знать основы линейной алгебры в применении к дифференциальным уравнениям, особенно к дифференциальным уравнениям второго порядка, хотя для их решения достаточно знания дифференциального и интегрального исчисления. Таким образом, достаточно просто проинтегрировать уравнение, чтобы найти его решение.

При этом следует учесть, что при вычислении неопределенного интеграла появляется произвольная постоянная. При этом различные переменные переносятся в разные стороны уравнения.

Обсуждение этих членов, которые называются дифференциалами , выходит за рамки данной статьи. Данное дифференциальное уравнение примечательно тем, что его можно очень легко решить, если обратить внимание на то, какими свойствами должны обладать его решения.

Из предыдущих примеров, которые были рассмотрены в разделе об уравнениях первого порядка, мы знаем, что таким свойством обладает лишь экспоненциальная функция. Следовательно, можно выдвинуть анзац обоснованное предположение о том, каким будет решение данного уравнения.

Перейдем теперь к рассмотрению нескольких конкретных примеров. Случай кратных корней характеристического уравнения рассмотрим чуть позже, в разделе о понижении порядка. Два различных действительных корня. Из основной теоремы алгебры следует, что решения решения полиномиальных уравнений с действительными коэффициентами имеют корни, которые вещественны или образуют сопряженные пары. Кратные корни однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Вспомним о том, что уравнение второго порядка должно иметь два линейно независимых решения.

Если характеристическое уравнение имеет кратные корни, множество решений не образует пространство, поскольку эти решения линейно зависимы. В этом случае необходимо использовать понижение порядка, чтобы найти второе линейно независимое решение. Как видно, в данном дифференциальном уравнении каждый член содержит степенной множитель, степень которого равна порядку соответствующей производной.

Дифференциальные уравнения 6

Чтобы получить второе линейно независимое решение, необходимо вновь провести понижение порядка. Метод неопределенных коэффициентов применяется в тех случаях, когда свободный член представляет собой комбинацию экспоненциальных, тригонометрических, гиперболических или степенных функций. Лишь эти функции гарантированно имеют конечное число линейно независимых производных.

В данном разделе мы найдем частное решение уравнения. Метод Лагранжа, или метод вариации произвольных постоянных, представляет собой более общий метод решения неоднородных дифференциальных уравнений, особенно в тех случаях, когда свободный член не содержит конечное число линейно независимых производных. Метод Лагранжа можно даже использовать для решения дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, хотя в этом случае, за исключением уравнения Коши-Эйлера, он применяется реже, поскольку дополнительное решение обычно не выражается через элементарные функции.

Дифференциальные уравнения устанавливают связь между функцией и одной или несколькими ее производными. Поскольку подобные связи чрезвычайно распространены, дифференциальные уравнения нашли широкое применение в самых разных сферах, а так как мы живем в четырех измерениях, эти уравнения часто представляют собой дифференциальные уравнения в частных производных.

В данном разделе рассмотрены некоторые из наиболее важных уравнений этого типа. Сообщество Наугад Про нас Категории Свежие правки. Написать статью Категоризировать статьи Другие идеи Уравнения первого порядка Уравнения второго порядка Дифференциальное уравнение — это уравнение, в которое входят функция и одна или несколько ее производных.

Предварительные сведения Дифференциальные уравнения имеют обширную классификацию. В настоящей статье рассказывается об обыкновенных дифференциальных уравнениях , то есть об уравнениях, в которые входит функция одной переменной и ее производные. Обыкновенные дифференциальные уравнения намного легче понять и решить, чем дифференциальные уравнения в частных производных , в которые входят функции нескольких переменных.

В данной статье не рассматриваются дифференциальные уравнения в частных производных, поскольку методы решения этих уравнений обычно определяются их конкретным видом. Ниже приведены несколько примеров обыкновенных дифференциальных уравнений. Первое из приведенных выше обыкновенных дифференциальных уравнений имеет первый порядок, в то время как второе относится к уравнениям второго порядка.

Степенью дифференциального уравнения называется наивысшая степень, в которую возводится один из членов этого уравнения. Например, приведенное ниже уравнение имеет третий порядок и вторую степень. В противном случае уравнение является нелинейным дифференциальным уравнением. Линейные дифференциальные уравнения примечательны тем, что из их решений можно составить линейные комбинации, которые также будут решениями данного уравнения.

Ниже приведены несколько примеров линейных дифференциальных уравнений. Первое уравнение является нелинейным из-за слагаемого с синусом. В большинстве случаев число произвольных постоянных равно порядку уравнения. Например, в данной статье будет рассмотрено решение приведенного ниже уравнения. Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка.

3 Решить задачу Коши

Его общее решение содержит две произвольные постоянные. В данной статье будет рассмотрено также, как найти частные решения при заданных начальных условиях. Линейные уравнения первого порядка. В данном разделе рассмотрены методы решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка в общих и специальных случаях, когда некоторые члены равны нулю. Во-первых, необходимо перенести переменные по разные стороны знака равенства.

После интегрирования с обеих сторон появятся произвольные постоянные, которые можно перенести в правую часть уравнения. Это интегрирующий множитель, которого достаточно для решения любого линейного уравнения первого порядка. В данном примере рассмотрено, как найти частное решение дифференциального уравнения с заданными начальными условиями. Нелинейные уравнения первого порядка. В данном разделе рассмотрены методы решения некоторых нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка.

Хотя и не существует общего метода решения таких уравнений, некоторые из них можно решить с помощью приведенных ниже методов. В этом случае можно воспользоваться приведенным выше методом: Приведенное выше описание однородности может показаться неясным.

Рассмотрим это понятие на примере. Вместе с тем это дифференциальное уравнение является однородным, поскольку и числитель, и знаменатель однородны со степенью 3. Полная производная учитывает зависимость от других переменных.

Иногда такой случай называют теоремой Клеро. В этом случае дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, если выполняется следующее условие: Можно взять частные производные и убедиться в том, что приведенное ниже уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Однако подобные уравнения редко применяются на практике, и хотя интегрирующий множитель существует , найти его бывает непросто , поэтому эти уравнения не рассматриваются в данной статье.

Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Эти уравнения широко используются на практике, поэтому их решение имеет первоочередное значение. В данном случае речь идет не об однородных функциях, а о том, что в правой части уравнения стоит 0. В следующем разделе будет показано, как решаются соответствующие неоднородные дифференциальные уравнения. Известно, что экспонента не может равняться нулю ни при каких значениях степени. Отсюда заключаем, что нулю равен полином.

Таким образом, мы свели задачу решения дифференциального уравнения к намного более простой задаче решения алгебраического уравнения, которое называется характеристическим уравнением для данного дифференциального уравнения.

Поскольку данное дифференциальное уравнение является линейным, его общее решение представляет собой линейную комбинацию частных решений.

Так как это уравнение второго порядка, мы знаем, что это действительно общее решение, и других не существует. Более строгое обоснование этого заключается в теоремах о существовании и единственности решения, которые можно найти в учебниках. Полезный способ проверить, являются ли два решения линейно независимыми, заключается в вычислении вронскиана. Теорема линейной алгебры гласит, что входящие в вронскиан функции линейно зависимы, если вронскиан равен нулю. В данном разделе мы можем проверить, являются ли два решения линейно независимыми — для этого необходимо убедиться, что вронскиан не равен нулю.

Вронскиан важен при решении неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами методом вариации параметров. В этом пространстве можно выбрать базис из линейно независимых друг от друга решений. Производная является линейным оператором, поскольку она преобразует пространство дифференцируемых функций в пространство всех функций.

Найдем решение приведенного ниже дифференциального уравнения с заданными начальными условиями. Для этого необходимо взять полученное решение, а также его производную , и подставить их в начальные условия, что позволит определить произвольные постоянные. Понижение порядка представляет собой метод решения дифференциальных уравнений в случае, когда известно одно линейно независимое решение.

Данный метод заключается в понижении порядка уравнения на один, что позволяет решить уравнение методами, которые описаны в предыдущем разделе. Этот набор решений является линейно независимым, и таким образом мы нашли все решения данного уравнения. В итоге остается линейное уравнение первого порядка. В противном случае решение можно оставить в интегральном виде. Уравнение Коши-Эйлера является примером дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами, которое имеет точные решения.

Это уравнение применяется на практике, например для решения уравнения Лапласа в сферических координатах. Такие точки важны при решении дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. Данное уравнение имеет два корня, которые могут быть различными и действительными, кратными или комплексно сопряженными.

Подобные действия выполнялись ранее при определении произвольных постоянных. Требуется довольно много вычислений, но принцип остается тем же: После сокращений получается следующее уравнение: Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Благодаря этим коэффициентам в линейной комбинации данный метод получил название "метода неопределенных коэффициентов". На данном этапе получается система алгебраических уравнений, которую обычно можно решить без особых проблем.

Рассмотрим неоднородное дифференциальное уравнение, свободный член которого содержит конечное число линейно независимых производных. Частное решение такого уравнения можно найти методом неопределенных коэффициентов. Предположим, что решение имеет следующий вид. Его производная приведена во второй строке.

Выберем это дополнительное условие в следующем виде: Фактически, определитель данной матрицы является вронскианом. Как и в методе понижения порядка, в данном случае при интегрировании появляется произвольная постоянная, которая включает дополнительное решение в общее решение дифференциального уравнения.

Практическое применение Дифференциальные уравнения устанавливают связь между функцией и одной или несколькими ее производными. Экспоненциальный рост и распад. Концентрация лекарств в крови. В реальном мире существует множество систем, в которых скорость роста или распада в любой момент времени пропорциональна количеству в данный момент времени или может быть хорошо аппроксимирована моделью.

Это объясняется тем, что решение данного дифференциального уравнения, экспоненциальная функция, является одной из наиболее важных функций в математике и других науках. В более общем случае при контролируемом росте популяции система может включать дополнительные члены, которые ограничивают рост. И в классической, и в квантовой механике гармонический осциллятор является одной из наиболее важных физических систем благодаря своей простоте и широкому применению для аппроксимации более сложных систем, таких как простой маятник.

В классической механике гармонические колебания описываются уравнением, которое связывает положение материальной точки с ее ускорением посредством закона Гука. При этом можно учитывать также демпфирующие и движущие силы. Гармонический осциллятор присутствует также в электромагнитных колебательных контурах, где его можно реализовать с большей точностью, чем в механических системах. Дифференциальное уравнение Бесселя используется во многих областях физики, в том числе для решения волнового уравнения, уравнения Лапласа и уравнения Шредингера, особенно при наличии цилиндрической или сферической симметрии.

Это дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами не является уравнением Коши-Эйлера, поэтому его решения не могут быть записаны в виде элементарных функций. Решениями уравнения Бесселя являются функции Бесселя, которые хорошо изучены благодаря тому, что применяются во многих областях. Наряду с силой Лоренца уравнения Максвелла составляют основу классической электродинамики.

Без волн нельзя представить физику и технику, они присутствуют во всех типах систем. Это решение представлено во второй строке. Уравнения Навье-Стокса описывают движение жидкостей. Поскольку жидкости присутствуют практически в каждой области науки и техники, эти уравнения чрезвычайно важны для предсказания погоды, конструирования самолетов, изучения океанских течений и решения множества других прикладных задач.

Уравнения Навье-Стокса являются нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных, и в большинстве случаев решить их очень сложно, поскольку нелинейность приводит к турбулентности, и для получения устойчивого решения численными методами необходимо разбиение на очень мелкие ячейки, что требует значительных вычислительных мощностей. Для практических целей в гидродинамике для моделирования турбулентных потоков используют такие методы, как усреднение по времени.

Дифференциальные уравнения онлайн. Математика онлайн

Сложными задачами являются даже более основные вопросы, такие как существование и единственность решений для нелинейных уравнений в частных производных, а доказательство существования и единственности решения для уравнений Навье-Стокса в трех измерениях входит в число математических задач тысячелетия.

Ниже приведены уравнение потока несжимаемой жидкости и уравнение непрерывности. Советы Многие дифференциальные уравнения просто невозможно решить приведенными выше методами, особенно упомянутые в последнем разделе. Это касается тех случаев, когда уравнение содержит переменные коэффициенты и не является уравнением Коши-Эйлера, или когда уравнение является нелинейным, за исключением нескольких очень редких случаев.

Тем не менее, приведенные выше методы позволяют решить многие важные дифференциальные уравнения, которые часто встречаются в различных областях науки. В отличие от дифференцирования, которое позволяет найти производную любой функции, интеграл многих выражений нельзя выразить в элементарных функциях.

Поэтому не тратьте время в попытках вычислить интеграл там, где это невозможно. Загляните в таблицу интегралов. Если решение дифференциального уравнения нельзя выразить через элементарные функции, иногда его можно представить в интегральной форме, и в данном случае неважно, можно ли вычислить данный интеграл аналитически.

Предупреждения Внешний вид дифференциального уравнения может оказаться обманчивым. Например, ниже приведены два дифференциальных уравнения первого порядка.

Первое уравнение легко решается с помощью описанных в данной статье методов. Информация о статье Категории: Математика На других языках: Menyelesaikan Persamaan Diferensial Обсудить Печать Отправить по почте Править Написать благодарственное письмо авторам.

Была ли эта статья полезной? Куки помогают сделать WikiHow лучше. Продолжая использовать наш сайт, вы соглашаетесь с нашими куки правилами. Главная страница Про wikiHow Terms of Use RSS Карта сайта Войти. Весь текст размещен под лицензией Creative Commons.

Сделано с помощью Mediawiki.

  Комментарии к новости 
 Главная новость дня Главная новость дня 
Сварог инвертор arc 180 pro
Таблица сколько должен весить
Приказ министерства образования и науки 336
Первым этапом защиты прав ребенка
Приказ министра обороны о наградах
Расписание автобусов 15а великий новгород
Расписание электричек пост волга свияжск
Индекс нагрузки таблица
Особенности государственного кадастрового учета
 
 Эксклюзив Эксклюзив 
Сравнение свойств элементов
Как сделать рамку в кс го
В 1 мг сколько грамм
Пришли ли результаты огэ по математике 2017
Как уменьшить размер изображения в html
История золушки cinderella story