Новости  Акты  Бланки  Договор  Документы  Правила сайта  Контакты
 Топ 10 сегодня Топ 10 сегодня 
  
18.12.2015

Найти неопределенный интеграл функции - Неопределённый интеграл: определения, геометрический смысл, методы нахождения, примеры

Решение неопределенных интегралов | Калькулятор

Найти неопределённый интеграл означает восстановить функцию по известной производной этой функции. Восстановленная таким образом функция F x называется первообразной для функции f x. Неопределённым интегралом функции f x называется совокупность всех её первообразных. При этом употребляется запись. Таким образом, если F x — какая-нибудь первообразная для f x , то. Для понимания смысла множества первообразных функции как неопределённого интеграла уместна следующая аналогия.

Пусть есть дверь традиционная деревянная дверь. Её функция - "быть дверью". А из чего сделана дверь? Подобно тому, как дверь сделана из дерева при помощи некоторых инструментов, производная функции "сделана" из первообразной функции при помощи формулы, которую мы узнали, изучая производную. Тогда таблица функций распространённых предметов и соответствующих им первообразных "быть дверью" - "быть деревом", "быть ложкой" - "быть металлом" и др.

В таблице неопределённых интегралов перечисляются распространённые функции с указанием первообразных, из которых "сделаны" эти функции. В части задач на нахождение неопределённого интеграла даны такие подынтегральные функции, которые без особых услилий могут быть проинтегрированы непосредственно, то есть по таблице неопределённых интегралов.

В задачах посложнее подынтегральную функцию нужно предварительно преобразовать так, чтобы можно было использовать табличные интегралы. Восстанавливая же эту функцию как первообразную, мы должны учитывать эту константу, а чтобы не писать список первообразной с различными константами от 1 до бесконечности, мы и будем записывать множество первообразных с произвольной константой C , например, так: Следовательно, функция - первообразная для функции.

Однако она не является единственной первообразной для. Ими служат также функции. В этом можно убедиться дифференцированием. Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн. Таким образом, если для функции существует одна первообразная, то для неё существует бесконечное множество первообразных, отличающихся на постоянное слагаемое. Все первообразные для функции записываются в приведённом выше виде.

Это вытекает из следующей теоремы. В следующих двух примерах уже обращаемся к таблице интегралов, которая будет дана в параграфе 3, после свойств неопределённого интеграла. Делаем это до ознакомления со всей таблицей, чтобы была понятна суть вышеизложенного. А после таблицы и свойств будем пользоваться ими при интегрировании во всей полносте. Находим множества первообразных функций, из которых "сделаны" данные функции.

При упоминании формул из таблицы интегралов пока просто примите, что там есть такие формулы, а полностью саму таблицу неопределённых интегралов мы изучим чуть дальше. Видим в знаменателе многочлен, в котором икс в квадрате. Это почти верный признак того, что можно применить табличный интеграл 21 с арктангенсом в результате.

Выносим из знаменателя множитель-двойку есть такое свойство неопределённого интеграла - постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, чуть ниже мы изучим все свойства. Теперь в знаменателе сумма квадратов, а это значить, что можем применить упомянутый табличный интеграл. Под знаком интеграла пишут не саму функцию f , а её произведение на дифференциал dx. Это делается прежде всего для того, чтобы указать, по какой переменной ищется первообразная. В первом случае эта функция рассматривается как функция от переменной x , а во втором - как функция от z.

Процесс нахождения неопределённого интеграла функции называется интегрированием этой функции. Если Вам не нужен разбор решения примеров и нужного для этого минимума теории, а Вы хотите лишь получить решение Вашей задачи, то переходите к калькулятору неопределённых интегралов онлайн.

Калькулятор может быть нужен для проверки решения. Более древний способ проверки результата, полученного при вычислении неопределённого интеграла - продифференцировать этот результат, после чего должно получиться подынтегральное выражение вычисляемого интеграла. Искомая функция F x является первообразной от f x.

Условию задачи удовлетворяет не одна кривая, а семейство кривых. Назовём график первообразной функции от f x интегральной кривой. Таким образом, неопределённый интеграл геометрически представлен семеством всех интегральных кривых , как на рисунке ниже.

Удалённость каждой кривой от начала координат определяется произвольной постоянной константой интегрирования C. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал — подынтегральному выражению.

Теоремы 1 и 2 показывают, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно-обратными операциями. Из определения неопределённого интеграла вытекают следующие формулы, которые в дальнейшем будем называть табличными интегралами:. Вновь применяем теорему 3 - свойство неопределённого интеграла, на основании которого постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:. Применяем формулу 7 из таблицы неопределённых интегралов переменная в степени к подынтегральной функции:.

Существует несколько методов нахождения неопределённого интеграла, выбор которых определяется видом подынтегральной функции. Но самый простой метод - это метод разложения, предполагающий разложение одного интеграла на сумму интегралов, каждый из которых уже легко найти, пользуясь таблицей производных. Именно с метода разложения правильнее начинать обкатку навыков нахождения неопределённого интеграла.

Проиллюстрируем применение этого метода на примерах. Все три полученные интеграла — табличные. Поэтому в аналогичных ситуациях следует вводить только одну произвольную постоянную. Когда в знаменателе дроби - одночлен, можем почлено разделить числитель на знаменатель.

Получим сумму двух интегралов:. Чтобы применить табличный интеграл, преобразуем корни в степени и затем окончательно получаем:. Сначала преобразуем подынтегральную функцию. Возведя двучлен в квадрат и разделив почленно числитель на знаменатель, получим. Все полученные интегралы — табличные. Нужно умножить многочлен на одночлен, тогда получим сумму двух интегралов:. Применяем табличный интеграл, интегрируя степенные функции и окончательно получаем:. В подынтегральном выражении - многочлен в степени.

Возведём его в степень и получим сумму интегралов, в которой постоянные множители вынесены за знаки интеграла:. Оба интеграла — табличные. Используя формулы 17 и 18 из таблицы интегралов, получим. Найти неопределённый интеграл функции Решение. Ими служат также функции и вообще где С — произвольная постоянная.

Решение неопределённых интегралов

Например, , ; здесь в обоих случаях подынтегральная функция равна , но её неопределённые интегралы в рассмотренных случаях оказываются различными. Вновь применяем теорему 3 - свойство неопределённого интеграла, на основании которого постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: Применяем формулу 7 из таблицы неопределённых интегралов переменная в степени к подынтегральной функции: Сокращаем получившиеся дроби и окончательно получаем: Нет времени вникать в решение?

Найти неопределённый интеграл Решение. Получим сумму двух интегралов: Чтобы применить табличный интеграл, преобразуем корни в степени и затем окончательно получаем: Нужно умножить многочлен на одночлен, тогда получим сумму двух интегралов: Применяем табличный интеграл, интегрируя степенные функции и окончательно получаем: Возведём его в степень и получим сумму интегралов, в которой постоянные множители вынесены за знаки интеграла: Интегрируем каждое слагаемое и окончательно получаем: Представим числитель подынтегральной функции, равный 1, в виде Тогда Оба интеграла — табличные.

Метод замены переменной в неопределённом интеграле. Интегрирование подведением под знак дифференциала. Интегрирование рациональных функций и метод неопределённых коэффициентов. Интегрирование некоторых иррациональных функций. Площадь плоской фигуры с помощью интеграла.

Объём тела вращения с помощью интеграла. Свойства неопределённого интеграла Теорема 1. К началу страницы Пройти тест по теме Интеграл Найти неопределенный интеграл методом разложения Существует несколько методов нахождения неопределённого интеграла, выбор которых определяется видом подынтегральной функции.

Используя формулы 17 и 18 из таблицы интегралов, получим Проверить решение задач на неопределённый интеграл можно на калькуляторе неопределённых интегралов онлайн.

  Комментарии к новости 
 Главная новость дня Главная новость дня 
Пешестрелецкая 91 паспортный стол график работы
Зарегистрироваться на сайте нмо
Месячные в первый раз сколько дней
Английский язык тексты с заданиями
Яшма магические свойства
Всемирная история часть 1 скачать
Индивидуальный план самообразования в доу
Пятерочка кропоткин каталог
Расписание автобусов по станции калининград
 
 Эксклюзив Эксклюзив 
Сущность и виды международных транспортных операций
Впр 5 класс делать
Тест драйв крузака 100
Как подключить джойстик к пк по bluetooth
Как укатать землю под газон своими руками
Электронные тесты 4 класс